★ 0Кабинет
Страница с ответами Тетрадь и ответы вместе Другие задания ← К программе

Рабочая тетрадь: ОГЭ математика, задание 24: Геометрическое доказательство: порядок шагов и другие

Геометрия, 9 класс

Имя: ____________________
Дата: ______________

Коротко о теме

  • ОГЭ математика, задание 24: Геометрическое доказательство: порядок шагов. Задание 24 ОГЭ — доказательство. Здесь тренируется логика: расставь шаги в нужном порядке. Подсказка: Начни с построения или условия, затем равенство/подобие фигур, затем вывод.
  • ОГЭ математика, задание 25: Геометрическая задача повышенной сложности. Задание 25 ОГЭ — геометрическая задача повышенной сложности. Здесь — числовые версии с теми же теоремами (хорды, касательные, биссектриса, подобие). Подсказка: Определи, какая теорема нужна: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, биссектриса, подобие.

Задания

  1. Докажи: «Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то он — параллелограмм». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
    • ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.
    • Аналогично из равенства треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.
    • Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.
    • Из равенства ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB, CD и секущей AC) получаем AB ∥ CD.
  2. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. AE = 6, EB = 9, CE = 2. Найди ED.
    Ответ: ______________
  3. Докажи: «Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то он — параллелограмм». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Аналогично из равенства треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.
    • ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.
    • Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.
    • Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
    • Из равенства ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB, CD и секущей AC) получаем AB ∥ CD.
  4. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найди радиус вписанной окружности.
    Ответ: ______________
  5. Докажи: «Вписанный угол, одна из сторон которого проходит через центр окружности, равен половине дуги, на которую он опирается». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Пусть сторона BC вписанного угла ABC — диаметр окружности с центром O.
    • Угол AOC — внешний для треугольника AOB, поэтому ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠ABC.
    • Треугольник AOB равнобедренный: OA = OB как радиусы, поэтому ∠OAB = ∠OBA.
    • Центральный угол AOC равен дуге AC, значит, ∠ABC равен половине дуги AC.
  6. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 4, AC = 4. Биссектриса BD угла B пересекает AC в точке D. Найди AD.
    Ответ: ______________
  7. Докажи: «Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.
    • Из равенства треугольников AB = AC.
    • Прямоугольные треугольники OBA и OCA имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB = OC.
    • Пусть из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O.
    • Радиусы OB и OC, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OBA = ∠OCA = 90°.
  8. В треугольнике ABC точка D лежит на AB, E — на BC, DE ∥ AC, BD : DA = 2 : 2, AC = 24. Найди DE.
    Ответ: ______________
  9. Докажи: «Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Коэффициент подобия равен 1 : 2, значит, MN = BC : 2.
    • Из подобия ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC (соответственные углы).
    • Угол A — общий для треугольников AMN и ABC.
    • Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
    • Пусть M и N — середины сторон AB и AC; тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2.
  10. Из точки P проведены касательная PT = 6 и секущая, пересекающая окружность в точках A и B, причём PA = 3 (A ближе к P). Найди длину хорды AB.
    Ответ: ______________
  11. Докажи: «Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Из подобия ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC (соответственные углы).
    • Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
    • Угол A — общий для треугольников AMN и ABC.
    • Пусть M и N — середины сторон AB и AC; тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2.
    • Коэффициент подобия равен 1 : 2, значит, MN = BC : 2.
  12. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 4, AC = 2. Биссектриса BD угла B пересекает AC в точке D. Найди AD.
    Ответ: ______________
  13. Докажи: «Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны». Расставь шаги доказательства в правильном порядке.
    • Пусть из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O.
    • Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.
    • Из равенства треугольников AB = AC.
    • Прямоугольные треугольники OBA и OCA имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB = OC.
    • Радиусы OB и OC, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OBA = ∠OCA = 90°.
  14. В треугольнике ABC точка D лежит на AB, E — на BC, DE ∥ AC, BD : DA = 1 : 3, AC = 8. Найди DE.
    Ответ: ______________

Ответы: ОГЭ математика, задание 24: Геометрическое доказательство: порядок шагов и другие

  1. Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. → ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. → Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. → Из равенства ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB, CD и секущей AC) получаем AB ∥ CD. → Аналогично из равенства треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.
  2. 27
  3. Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. → ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. → Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. → Из равенства ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB, CD и секущей AC) получаем AB ∥ CD. → Аналогично из равенства треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.
  4. 6
  5. Пусть сторона BC вписанного угла ABC — диаметр окружности с центром O. → Треугольник AOB равнобедренный: OA = OB как радиусы, поэтому ∠OAB = ∠OBA. → Угол AOC — внешний для треугольника AOB, поэтому ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠ABC. → Центральный угол AOC равен дуге AC, значит, ∠ABC равен половине дуги AC.
  6. 2
  7. Пусть из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. → Радиусы OB и OC, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OBA = ∠OCA = 90°. → Прямоугольные треугольники OBA и OCA имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB = OC. → Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. → Из равенства треугольников AB = AC.
  8. 12
  9. Пусть M и N — середины сторон AB и AC; тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2. → Угол A — общий для треугольников AMN и ABC. → Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. → Из подобия ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC (соответственные углы). → Коэффициент подобия равен 1 : 2, значит, MN = BC : 2.
  10. 9
  11. Пусть M и N — середины сторон AB и AC; тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2. → Угол A — общий для треугольников AMN и ABC. → Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. → Из подобия ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC (соответственные углы). → Коэффициент подобия равен 1 : 2, значит, MN = BC : 2.
  12. 1
  13. Пусть из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. → Радиусы OB и OC, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OBA = ∠OCA = 90°. → Прямоугольные треугольники OBA и OCA имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB = OC. → Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. → Из равенства треугольников AB = AC.
  14. 2

CLASS.SU · https://class.su/workbook/9/geometry/x-c-ops/