Ответы: ОГЭ математика, задание 24: Геометрическое доказательство: порядок шагов и другие

Ответы: ОГЭ математика, задание 24: Геометрическое доказательство: порядок шагов и другие

1. Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. → ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. → Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. → Из равенства ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB, CD и секущей AC) получаем AB ∥ CD. → Аналогично из равенства треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.
2. 27
3. Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. → ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. → Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. → Из равенства ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB, CD и секущей AC) получаем AB ∥ CD. → Аналогично из равенства треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.
4. 6
5. Пусть сторона BC вписанного угла ABC — диаметр окружности с центром O. → Треугольник AOB равнобедренный: OA = OB как радиусы, поэтому ∠OAB = ∠OBA. → Угол AOC — внешний для треугольника AOB, поэтому ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠ABC. → Центральный угол AOC равен дуге AC, значит, ∠ABC равен половине дуги AC.
6. 2
7. Пусть из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. → Радиусы OB и OC, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OBA = ∠OCA = 90°. → Прямоугольные треугольники OBA и OCA имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB = OC. → Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. → Из равенства треугольников AB = AC.
8. 12
9. Пусть M и N — середины сторон AB и AC; тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2. → Угол A — общий для треугольников AMN и ABC. → Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. → Из подобия ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC (соответственные углы). → Коэффициент подобия равен 1 : 2, значит, MN = BC : 2.
10. 9
11. Пусть M и N — середины сторон AB и AC; тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2. → Угол A — общий для треугольников AMN и ABC. → Треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. → Из подобия ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC (соответственные углы). → Коэффициент подобия равен 1 : 2, значит, MN = BC : 2.
12. 1
13. Пусть из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. → Радиусы OB и OC, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OBA = ∠OCA = 90°. → Прямоугольные треугольники OBA и OCA имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB = OC. → Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. → Из равенства треугольников AB = AC.
14. 2